Пример задания Problem Solving с подробными комментариями: "Разноцветные перчатки"
Задание
В коробке лежит три пары синих перчаток и две пары зеленых. Каждая пара состоит из правой и левой перчатки. Все перчатки отделены от своих пар и тщательно перемешаны. Какова вероятность того, что среди трех произвольно выбранных перчаток окажется пара (левая и правая одного цвета)?
(A) 3/10
(B) 23/60
(C) 7/12
(D) 41/60
(E) 5/6
Это задание – из разряда самых сложных. Подобные вопросы получают аппликанты, чей предполагаемый результат GMAT находится в диапазоне 700+.
Решение
Последовательное решение этой проблемы потребовало бы вычислений вероятности всех вариантов.
Поэтому лучший способ решить эту задачу – рассчитать вероятность того, что среди выбранных наугад трех перчаток пары одного цвета НЕ окажется, а затем вычесть результат из единицы. Помните, что вероятность любого события в сумме с вероятностью того, что оно не произойдет, дает единицу.
Предположим, что первая перчатка оказалась синей. Правая или левая – значения не имеет. Поскольку в коробке 10 перчаток, из которых три пары – синие, вероятность выбора синей перчатки равна 6/10.
Предположим, что второй оказалась синяя перчатка на ту же руку. Поскольку мы выбрали 2 синие перчатки на одну руку из 9 оставшихся, вероятность выбора такой перчатки составляет 2/9.
Третьей перчаткой может оказаться либо снова синяя перчатка на ту же руку, либо одна из зеленых. Поскольку в коробке осталась лишь одна синяя перчатка на ту же руку и 4 зеленых из 8 оставшихся, вероятность такого выбора (1 + 4)/8 или 5/8.
Общую вероятность такого сценария можно узнать, умножив все его составляющие: 6/10 x 2/9 x 5/8 = 60/720.
Полученные результаты можно представить в виде таблицы.
| Попытка | Цвет/Рука | Вероятность |
| 1 | синий/любая | 6/10 |
| 2 | синий/любая | 2/9 |
| 3 | синий/та же или зеленый/любая | 5/8 |
| итог | 6/10 x 2/9 x 5/8 = 60/720 |
Используя тот же самый принцип, рассчитаем вероятность второго сценария: синяя перчатка, зеленая перчатка, синяя или зеленая перчатка на ту же руку:
| Попытка | Цвет/Рука | Вероятность |
| 1 | синий/любая | 6/10 |
| 2 | зеленый/любая | 4/9 |
| 3 | зеленый/та же или синий/та же | (2+1)/8 |
| итог | 6/10 x 4/9 x 3/8 = 72/720 |
Первой перчаткой может оказаться и зеленая. Тогда сценарий может быть таким: зеленая перчатка, еще одна зеленая перчатка на ту же руку, затем любая синяя перчатка.
| Попытка | Цвет/Рука | Вероятность |
| 1 | зеленый/любая | 4/10 |
| 2 | зеленый/та же | 1/9 |
| 3 | синий/любая | 6/8 |
| итог | 4/10 x 1/9 x 6/8 = 24/720 |
Еще один сценарий:
| Попытка | Цвет/Рука | Вероятность |
| 1 | зеленый/любая | 4/10 |
| 2 | синий/любая | 6/9 |
| 3 | зеленый/та же или синий/та же | (1 + 2)/8 |
| итог | 4/10 x 6/9 x 3/8 = 72/720 |
Общая возможность НЕ выбрать с трех попыток пару перчаток одного цвета вычисляется путем СУММИРОВАНИЯ всех итоговых вероятностей четырех сценариев: 60/720 + 72/720 + 24/720 + 72/720 = 228/720 = 19/60.
Следовательно, вероятность выбрать пару перчаток одного цвета с трех попыток равняется 1 - 19/60 = 41/60.
Ответ (D).
.png){kind=small}